Einstieg Lineare Funktion / Geraden / Funktionsgleichungen
Puhhh, Funktionen!! Zu Beginn wirst du dieses Thema vermutlich hassen, am Ende dafür lieben 🙂 Wenn man einmal die Logik hinter Funktionen verstanden hat, sind viele Aufgaben einfach zu lösen. Aber was sind Funktionen überhaupt?
Einfach gesagt: Es handelt sich um eine Zuordnung von verschiedenen Werten zueinander. Jedem x-Wert wird dabei genau ein y-Wert zugeordnet! Zum Beispiel ordnen wir jedem €-Wert den Pfund-Wert zu:
- 1 € entspricht 2 Pfund
- 2 € entsprechen 4 Pfund
- 4 € entsprechen 8 Pfund
- -3 € entsprechen -9 Pfund
Eine Zuordnung (Funktion) lässt sich nun auf verschiedene Arten darstellen:
1. Wertetabelle
Die Zuordnung kann mit Hilfe einer sogenannten Wertetabelle dargestellt werden. Dabei wird jedem x-Wert der entsprechende y-Wert zugeordnet. Hier ist der y-Wert immer doppelt so groß wie der x-Wert. Diese Wertepaare [ z.B. (-2|-4) oder (1|2) ] werden in einer Tabelle dargestellt.
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
2. Koordinatensystem mit Funktionsgraph
Die Wertepaare aus der Wertetabelle kannst du auch in einem sogenannten Koordinatensystem eintragen. Es gibt eine x-Achse und eine y-Achse. Die Wertepaare [z.B. (1|2) ] bestehen ebenfalls aus einem x-Wert (hier 1) und y-Wert (hier 2). Man trägt nun alle Wertepaare in das Koordinatensystem ein und verbindet diese zu einer Geraden (Linie). Diese Gerade nennt man Funktionsgraph.
3. Funktionsgleichung
Wie du bereits festgestellt hast, ist der y-Wert in unserem Beispiel immer doppelt so groß wie der dazugehörige x-Wert. Diese Zuordnung lässt sich mit Hilfe folgender Schreibweise darstellen:
y=2*x
Diese Gleichung nennt man Funktionsgleichung.
Eine andere Schreibweise wäre, dass du y durch f(x) [gesprochen: f von x] darstellst:
f(x)=2x
Beispielaufgabe für dich:
Stelle folgende Zuordnung mit Hilfe einer Wertetabelle, einem Funktionsgraph im Koordinatensystem und durch eine Funktionsgleichung dar:
1 Apfel kostet 0,5 € und 2 Äpfel kosten 1 €
Hinweise:
1. Wertetabelle: 1 Apfel kostet 0,5 €. Der y-Wert ist also immer die Hälfte des x-Werts.
| x-Wert (Anzahl Äpfel) | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 4 |
| y-Wert (€-Betrag) | -0,5 | -1 | -0,5 | 0 | 0,5 | 1 | 2 |
2. Koordinatensystem und Funktionsgraph
Im ersten Schritt zeichnest du die Wertepaare aus deiner Wertetabelle in Form von Punkten ein. So entsteht zum Beispiel der Punkt (-2|-1). Dafür gehst du vom Ursprung aus -2 Einheiten nach links und -1 Einheit nach unten.
Anschließend verbindest du die Punkte zu einer Geraden. Diese Gerade nennt man auch Funktionsgraph. Hinweis: theoretisch reichen dafür 2 Punkte 🙂
3. Funktionsgleichung
Da jeder y-Wert nur halb so groß ist wie sein dazugehöriger x-Wert, kann man folgende Funktionsgleichung festhalten:
y=0,5*x
Alternative Schreibweise:
f(x) = 0,5*x