Übung macht den Meister! Löse so viele Aufgaben wie möglich, um Sicherheit bei der Berechnung von Zinseszinsen zu erhalten. Tipp: Notiere dir deine Rechenwege! Viel Erfolg 🙂
Übungsaufgaben zur Zinseszinsrechnung
Grundformel: Kn = K0 · qn
Dabei gilt: q = 1 + p/100 (p ist der Zinssatz in Prozent)
Aufgabe 1
Ein Kapital von 5.000 € wird für 4 Jahre zu einem Zinssatz von 3 % pro Jahr angelegt. Wie hoch ist das Endkapital?
Lösung:
K0 = 5.000 €
p = 3 % pro Jahr
n = 4 Jahre
q = 1 + p/100 = 1 + 3/100 = 1 + 0,03 = 1,03
Kn = K0 · qn = 5.000 € · 1,034 = 5.000 € · 1,1255 = 5.627,55 €
Das Endkapital beträgt 5.627,55 €.
Aufgabe 2
Ein Startkapital von 10.000 € soll durch Zinseszins auf 15.000 € anwachsen. Der Zinssatz beträgt 4 % pro Jahr. Nach wie vielen vollen Jahren wird das Zielkapital erreicht oder überschritten?
Lösung:
K0 = 10.000 €
Kn = 15.000 €
p = 4 % pro Jahr
q = 1 + p/100 = 1 + 4/100 = 1,04
Kn = K0 · qn
15.000 € = 10.000 € · 1,04n
1,5 = 1,04n
log(1,5) = n · log(1,04)
n = log(1,5) / log(1,04) ≈ 10,41
Nach 11 vollen Jahren wird das Zielkapital erreicht oder überschritten.
Aufgabe 3
Welchen Zinssatz p benötigt man, um ein Kapital in 8 Jahren zu verdoppeln?
Lösung:
Kn = 2 · K0
n = 8 Jahre
Kn = K0 · qn
2 · K0 = K0 · q8
2 = q8
q = 21/8 ≈ 1,09
q = 1 + p/100
1,09 = 1 + p/100
p/100 = 0,09
p = 9
Der benötigte Zinssatz beträgt 9 % pro Jahr.
Aufgabe 4
Lisa legt 2.500 € bei einer Bank an, die ihr 2,5 % Zinsen p.a. garantiert. Nach wie vielen Jahren hat sich das Kapital um 500 € vermehrt?
Lösung:
K0 = 2.500 €
Kn = 3.000 €
p = 2,5 % pro Jahr
q = 1 + p/100 = 1 + 2,5/100 = 1,025
Kn = K0 · qn
3.000 € = 2.500 € · 1,025n
3.000 € / 2.500 € = 1,025n
1,2 = 1,025n
log(1,2) = n · log(1,025)
n = log(1,2) / log(1,025) ≈ 7,32
Nach 8 vollen Jahren hat sich das Kapital um 500 € vermehrt.
Aufgabe 5
Ein Kapital von 7.500 € wächst in 6 Jahren auf 9.623,25 € an. Welcher Zinssatz wurde angewendet?
Lösung:
K0 = 7.500 €
Kn = 9.623,25 €
n = 6 Jahre
Kn = K0 · qn
9.623,25 € = 7.500 € · q6
9.623,25 € / 7.500 € = q6
1,283 = q6
q = 1,2831/6 ≈ 1,042
q = 1 + p/100
1,042 = 1 + p/100
p/100 = 0,042
p = 4,2
Der angewendete Zinssatz beträgt 4,2 % pro Jahr.
Aufgabe 6
Wie groß muss ein Anfangskapital sein, damit bei einem Zinssatz von 3,5 % pro Jahr nach 10 Jahren ein Endkapital von 25.000 € erreicht wird?
Lösung:
Kn = 25.000 €
p = 3,5 % pro Jahr
n = 10 Jahre
q = 1 + p/100 = 1 + 3,5/100 = 1,035
Kn = K0 · qn
25.000 € = K0 · 1,03510
25.000 € = K0 · 1,4106
K0 = 25.000 € / 1,4106 ≈ 17.722,39 €
Das Anfangskapital muss 17.722,39 € betragen.
Aufgabe 7
Ein Kapital von 3.000 € wird zu einem Zinssatz von 2 % pro Jahr angelegt. Gleichzeitig wird ein anderes Kapital von 2.000 € zu 5 % pro Jahr angelegt. Nach wie vielen Jahren sind beide Kapitalien gleich groß?
Lösung:
K0,1 = 3.000 €, p1 = 2 % → q1 = 1,02
K0,2 = 2.000 €, p2 = 5 % → q2 = 1,05
Wenn beide Kapitalien gleich groß sind, gilt:
K0,1 · q1n = K0,2 · q2n
3.000 € · 1,02n = 2.000 € · 1,05n
3.000 / 2.000 = 1,05n / 1,02n
1,5 = (1,05/1,02)n
1,5 = 1,029n
log(1,5) = n · log(1,029)
n = log(1,5) / log(1,029) ≈ 14,12
Nach 15 vollen Jahren sind beide Kapitalien gleich groß.
Aufgabe 8
Ein Kapital soll sich in genau 12 Jahren verdreifachen. Welcher Zinssatz ist dafür nötig?
Lösung:
Kn = 3 · K0
n = 12 Jahre
Kn = K0 · qn
3 · K0 = K0 · q12
3 = q12
q = 31/12 ≈ 1,095
q = 1 + p/100
1,095 = 1 + p/100
p/100 = 0,095
p = 9,5
Der benötigte Zinssatz beträgt 9,5 % pro Jahr.
Aufgabe 9
Ein Kapital von 12.000 € wird für 5 Jahre zu einem Zinssatz von 2,8 % pro Jahr angelegt. Wie hoch sind die Zinsen am Ende der Laufzeit?
Lösung:
K0 = 12.000 €
p = 2,8 % pro Jahr
n = 5 Jahre
q = 1 + p/100 = 1 + 2,8/100 = 1,028
Kn = K0 · qn = 12.000 € · 1,0285 = 12.000 € · 1,1479 = 13.774,80 €
Zinsen = Kn – K0 = 13.774,80 € – 12.000 € = 1.774,80 €
Die Zinsen betragen 1.774,80 €.
Aufgabe 10
Familie Müller möchte für ihr neugeborenes Kind einen Sparplan anlegen, damit bei Volljährigkeit (18 Jahre) ein Kapital von 25.000 € zur Verfügung steht. Welche Einmalzahlung müssen die Eltern heute leisten, wenn der Zinssatz 3,2 % pro Jahr beträgt?
Lösung:
Kn = 25.000 €
p = 3,2 % pro Jahr
n = 18 Jahre
q = 1 + p/100 = 1 + 3,2/100 = 1,032
Kn = K0 · qn
25.000 € = K0 · 1,03218
25.000 € = K0 · 1,7676
K0 = 25.000 € / 1,7676 ≈ 14.143,13 €
Die Eltern müssen heute 14.143,13 € einzahlen.
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Achtung: hier sind auch andere Aufgaben aus dem Bereich des exponentiellen Wachstums abgebildet. Konzentriere dich auf die Ausgaben mit finanzmathematischem Zusammenhang :-)