Kugeln

Jeder von euch weiß, was eine Kugel ist. Schöne Beispiele sind ein Fußball, die Erde oder eine Seifenblase.

Berechnungen an einer Kugel

Einstiegsbeispiel: Berechnen Sie das Volumen und die Oberfläche eines Fußballs, wenn der Radius 11 cm beträgt. Informiere dich im Informationsteil weiter unten.

Das Volumen einer Kugel berechnet sich mit Hilfe folgender Formel:

V=\frac{4}{3}*\pi*r^3

Die Oberfläche einer Kugel kannst du mit der nachfolgenden Formel bestimmen:

O = 4*\pi*r^2

Volumen des Fußballs mit r = 10 cm

V=\frac{4}{3}*\pi*r^3=\frac{4}{3}*\pi*(10cm)^3\approx4.188.79\ cm³

Oberfläche des Fußballs mit r = 10cm

O = 4*\pi*r^2= 4*\pi*10^2\approx1.256.64\ cm²

Du wirst auf Aufgaben stoßen, bei denen du das Volumen einer Kugel kennst und daraus den Radius berechnen sollst.

Beispielaufgabe: Das Volumen einer Kugel beträgt 50 000 cm³. Berechne den Radius. Tipp: Du musst die Formel für das Volumen nach „r“ auflösen.

Da das Volumen bekannt ist (50 000 cm³) arbeiten wir mit der Formel für das Volumen einer Kugel:

V=\frac{4}{3}*\pi*r^3

Wir teilen zunächst auf beiden Seiten durch (4/3*π):

\frac{V}{\frac{4}{3}*\pi}=r^3

Da wir den Radius bestimmen möchten, müssen wir nun noch die 3. Wurzel ziehen

\sqrt[3]{\frac{V}{\frac{4}{3}*\pi}}=r

Jetzt können wir das gegebene Volumen (50.000cm³) einsetzten und somit den Radius bestimmen.

r=\sqrt[3]{\frac{V}{\frac{4}{3}*\pi}}=\sqrt[3]{\frac{50.000}{\frac{4}{3}*\pi}}\approx22,85\ cm

Ein weitere Aufgabentyp bei der Kugel besteht darin, den Radius bei bekannter Oberfläche zu bestimmen.

Beispielaufgabe: Die Oberfläche eines Balles beträgt 40 cm². Bestimmen Sie den Radius und Durchmesser.

Da wir die Oberfläche kennen, arbeiten wir mit der entsprechenden Formeln

O = 4*\pi*r^2

Dieser Formel muss nun nach „r“ aufgelöst werden. Hierfür teilen wir zunächst die Gleichung auf beiden Seiten durch 4*π

\frac{O}{4*\pi}=r^2

Wir möchten den Radius bestimmen, also ziehen wir noch die Wurzel:

\sqrt{\frac{O}{4*\pi}} = r

Jetzt können wir die Oberfläche (40cm²) eingeben und den Radius berechnen:

r = \sqrt{\frac{40}{4*\pi}} \approx1,78\ cm

Tolle Übungsaufgaben zu Berechnungen an Kugeln findest du beim Aufgabenfuchs

Aufgabenfuchs „Kugel“

Test