Die Trigonometrie (vom griechischen „trigonon – Dreieck“) ist ein Teilgebiet der Geometrie, bei der Verhältnisse von Seiten und Winkeln in Dreiecken untersucht werden. Du kannst hier lernen, wie man mit Hilfe von Sinus (sin), Kosinus (cos) und Tangens (tan) Streckenlängen und Winkel bestimmt.
Wir unterscheiden hier zwischen der Trigonometrie in rechtwinkligen und in allgemeinen Dreiecken.
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Trigonometrie in rechtwinkligen Dreiecken
Lernvideos
Was sind Ankathete und Gegenkathete? Ein rechtwinkliges Dreieck korrekt beschriften.
Fehlende Seite in einem rechtwinkligen Dreieck berechen (Sinus, Kosinus, Tangens)
Winkel berechnen bei 2 gegebenen Seiten
Übungsaufgaben
10 Übungsaufgaben zur Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck
Berechne die gesuchten Größen mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus und Tangens). Runde deine Ergebnisse auf zwei Dezimalstellen.
In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt die Hypotenuse c = 15 cm und der Winkel α = 32°. Berechne die Länge der Kathete a.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Kathete a = 8 cm und die Hypotenuse c = 10 cm. Bestimme den Winkel β.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Kathete b = 12 cm und der Winkel α = 40°. Berechne die Länge der Hypotenuse c.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Kathete a = 5 cm und den Winkel α = 25°. Berechne die Länge der Kathete b.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Kathete a = 6 cm und die Kathete b = 8 cm. Berechne den Winkel α.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat den Winkel β = 62° und die Hypotenuse c = 20 cm. Berechne die Länge der Kathete a.
In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt die Kathete b = 15 cm und der Winkel β = 42°. Berechne die Hypotenuse c.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Kathete a = 10 cm und den Winkel β = 35°. Berechne die Länge der Kathete b.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse c = 25 cm und die Kathete a = 15 cm. Berechne den Winkel α.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat den Winkel α = 52° und die Kathete b = 9 cm. Berechne die Hypotenuse c.
Trigonometrie in allgemeinen Dreiecken
1. Der Sinussatz
10 Übungsaufgaben zur Trigonometrie mit Sinussatz
Berechne die gesuchten Größen in allgemeinen Dreiecken mit Hilfe des Sinussatzes. Runde deine Ergebnisse auf zwei Dezimalstellen.
Zur Erinnerung - der Sinussatz lautet: a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ)
In einem Dreieck sind die Seite a = 8 cm, der Winkel α = 42° und der Winkel β = 63° gegeben. Berechne die Länge der Seite b.
In einem Dreieck sind die Seite a = 15 cm, die Seite b = 12 cm und der Winkel α = 38° gegeben. Berechne den Winkel β.
In einem Dreieck sind die Seite b = 7 cm, der Winkel α = 45° und der Winkel β = 35° gegeben. Berechne die Länge der Seite a.
In einem Dreieck sind die Seite a = 10 cm, die Seite c = 12 cm und der Winkel α = 50° gegeben. Berechne den Winkel γ.
In einem Dreieck sind die Seite a = 18 cm, der Winkel β = 42° und der Winkel γ = 68° gegeben. Berechne die Länge der Seite c.
In einem Dreieck sind die Seite b = 14 cm, die Seite c = 20 cm und der Winkel β = 55° gegeben. Berechne den Winkel γ.
In einem Dreieck sind die Seite a = 12 cm, der Winkel α = 40° und der Winkel γ = 65° gegeben. Berechne die Länge der Seite c.
In einem Dreieck sind die Seite a = 25 cm, die Seite b = 18 cm und der Winkel β = 58° gegeben. Berechne den Winkel α.
In einem Dreieck sind die Seite c = 16 cm, der Winkel α = 45° und der Winkel β = 60° gegeben. Berechne die Länge der Seite a.
In einem Dreieck sind die Seite b = 22 cm, die Seite c = 18 cm und der Winkel β = 72° gegeben. Berechne den Winkel γ.
2. Der Kosinussatz
10 Übungsaufgaben zur Trigonometrie mit Kosinussatz
Berechne die gesuchten Größen in allgemeinen Dreiecken mit Hilfe des Kosinussatzes. Runde deine Ergebnisse auf zwei Dezimalstellen.
Zur Erinnerung - der Kosinussatz lautet:
- a² = b² + c² - 2·b·c·cos(α)
- b² = a² + c² - 2·a·c·cos(β)
- c² = a² + b² - 2·a·b·cos(γ)
Umgeformt für die Winkel:
- cos(α) = (b² + c² - a²) / (2·b·c)
- cos(β) = (a² + c² - b²) / (2·a·c)
- cos(γ) = (a² + b² - c²) / (2·a·b)
In einem Dreieck sind die Seiten a = 8 cm, b = 12 cm und c = 15 cm gegeben. Berechne den Winkel α.
Lösung:
Wir verwenden den Kosinussatz für den Winkel α:
cos(α) = (b² + c² - a²) / (2·b·c)
cos(α) = (12² + 15² - 8²) / (2·12·15)
cos(α) = (144 + 225 - 64) / 360
cos(α) = 305 / 360
cos(α) = 0,8472
α = arccos(0,8472) ≈ 32,20°
In einem Dreieck sind die Seiten a = 10 cm, c = 14 cm und der Winkel β = 60° gegeben. Berechne die Länge der Seite b.
Lösung:
Wir verwenden den Kosinussatz für die Seite b:
b² = a² + c² - 2·a·c·cos(β)
b² = 10² + 14² - 2·10·14·cos(60°)
b² = 100 + 196 - 2·10·14·0,5
b² = 296 - 140
b² = 148
b = √148 ≈ 12,17 cm
In einem Dreieck sind die Seiten b = 15 cm, c = 18 cm und der Winkel α = 45° gegeben. Berechne die Länge der Seite a.
Lösung:
Wir verwenden den Kosinussatz für die Seite a:
a² = b² + c² - 2·b·c·cos(α)
a² = 15² + 18² - 2·15·18·cos(45°)
a² = 225 + 324 - 2·15·18·0,7071
a² = 549 - 2·15·18·0,7071
a² = 549 - 381,834
a² = 146,66
a = √146,66 ≈ 12,11 cm
In einem Dreieck sind die Seiten a = 12 cm, b = 9 cm und c = 7 cm gegeben. Berechne den Winkel γ.
Lösung:
Wir verwenden den Kosinussatz für den Winkel γ:
cos(γ) = (a² + b² - c²) / (2·a·b)
cos(γ) = (12² + 9² - 7²) / (2·12·9)
cos(γ) = (144 + 81 - 49) / 216
cos(γ) = 176 / 216
cos(γ) = 0,8148
γ = arccos(0,8148) ≈ 35,60°
In einem Dreieck sind die Seiten a = 20 cm, c = 16 cm und der Winkel β = 50° gegeben. Berechne die Länge der Seite b.
Lösung:
Wir verwenden den Kosinussatz für die Seite b:
b² = a² + c² - 2·a·c·cos(β)
b² = 20² + 16² - 2·20·16·cos(50°)
b² = 400 + 256 - 2·20·16·0,6428
b² = 656 - 410,39
b² = 245,61
b = √245,61 ≈ 15,70 cm
In einem Dreieck sind die Seiten a = 18 cm, b = 14 cm und der Winkel γ = 65° gegeben. Berechne die Länge der Seite c.
Lösung:
Wir verwenden den Kosinussatz für die Seite c:
c² = a² + b² - 2·a·b·cos(γ)
c² = 18² + 14² - 2·18·14·cos(65°)
c² = 324 + 196 - 2·18·14·0,4226
c² = 520 - 2·18·14·0,4226
c² = 520 - 212,59
c² = 307,41
c = √307,41 ≈ 17,53 cm
Anmerkung: Die Toleranz beim Prüfen berücksichtigt verschiedene Rundungen in der Berechnung.
In einem Dreieck sind die Seiten b = 12 cm, c = 10 cm und der Winkel α = 70° gegeben. Berechne die Länge der Seite a.
Lösung:
Wir verwenden den Kosinussatz für die Seite a:
a² = b² + c² - 2·b·c·cos(α)
a² = 12² + 10² - 2·12·10·cos(70°)
a² = 144 + 100 - 2·12·10·0,342
a² = 244 - 82,08
a² = 161,92
a = √161,92 ≈ 12,73 cm
Anmerkung: Die Toleranz beim Prüfen berücksichtigt verschiedene Rundungen in der Berechnung.
In einem Dreieck sind die Seiten a = 22 cm, b = 16 cm und c = 14 cm gegeben. Berechne den Winkel β.
Lösung:
Wir verwenden den Kosinussatz für den Winkel β:
cos(β) = (a² + c² - b²) / (2·a·c)
cos(β) = (22² + 14² - 16²) / (2·22·14)
cos(β) = (484 + 196 - 256) / 616
cos(β) = 424 / 616
cos(β) = 0,6883
β = arccos(0,6883) ≈ 46,51°
Anmerkung: Die Toleranz beim Prüfen berücksichtigt verschiedene Rundungen in der Berechnung.
In einem Dreieck sind die Seiten a = 9 cm, b = 7 cm und der Winkel γ = 55° gegeben. Berechne die Länge der Seite c.
Lösung:
Wir verwenden den Kosinussatz für die Seite c:
c² = a² + b² - 2·a·b·cos(γ)
c² = 9² + 7² - 2·9·7·cos(55°)
c² = 81 + 49 - 2·9·7·0,5736
c² = 130 - 2·9·7·0,5736
c² = 130 - 72,27
c² = 57,73
c = √57,73 ≈ 7,60 cm
Anmerkung: Die Toleranz beim Prüfen berücksichtigt verschiedene Rundungen in der Berechnung.
3. Der Flächensatz
Übungen zum Flächensatz in der Trigonometrie
Formel: A = ½ · a · b · sin(γ) — Benutze den Taschenrechner im DEG-Modus.